Question

4．如图，直线 y=-2x+4与坐标轴分别交于B、D，四边形ABCD为菱形，其对角线交于点P，AC交y轴于点E．
（1）求B、D、A三个点的坐标；  
（2）求PE的长．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求得B、D的坐标，然后通过根据菱形的性质证得∴△ABP∽△DBO，即可求得AB=5，即可求得C的坐标；
（2）证得∴△PDE∽△ODB，即可求得PE的长．

解答 解：（1）∵直线 y=-2x+4与坐标轴分别交于B、D，
∴当y=0时，x=2，当x=0时，y=4，
∴B（2，0），D（0，4），
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵四边形ABCD为菱形，
∴PB=PD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$，AC⊥BD，
∴∠APB=∠DOB=90°，
∵∠ABP=∠DBO，
∴△ABP∽△DBO，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{PB}{OB}$，即$\frac{AB}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AB=5，
∴OA=AB-OB=5-2=3，
∴A（-3，0）；
（2）∵∠DPE=∠DOB=90°，∠PDE=∠ODB，
∴△PDE∽△ODB，
∴$\frac{PE}{OB}$=$\frac{PD}{OD}$，即$\frac{PE}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标 特征，菱形的性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用等，熟练掌握性质是解题的关键．