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如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE,过B点折纸片使A点叠在直线AD上,得折痕PQ。
(1)求证:△PBE ∽ △QAB; 
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明,若不相似请说明理由。
解:(1)证明:∵∠PBE+∠ABQ=90°,
∠PBE+∠PEB=90°,
∴∠ABQ=∠PEB,  
又∵∠BPE=∠AQB=90°
∴△PBE∽△QAB。   
(2)∵△PBE∽△QAB,

∵BQ=PB,
,即,    
又∵∠EPB=∠EBA=90°,
∴△PBE∽△BAE。
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下:
第一步:先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图(1)所示;
第二步:再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为B′,得 Rt△AB′E,如图(2)所示;
第三步:沿EB′线折叠得折痕EF,如图(3)所示;利用展开图(4)所示.
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探究:
(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论.
(2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.
(3)如图(5),将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点A落在DC边上的点A′处,x轴垂直平分DA,直线EF的表达式为y=kx-k (k<0)
①问:EF与抛物线y=-
1
8
x2
有几个公共点?
②当EF与抛物线只有一个公共点时,设A′(x,y),求
x
y
的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

根据所给的基本材料,请你进行适当的处理,编写一道综合题.
编写要求:①提出具有综合性、连续性的三个问题;②给出正确的解答过程;③写出编写意图和学生答题情况的预测.
材料①:如图,先把一矩形纸片ABCD对折,得到折痕MN,然后把B点叠在折痕线上,得到△ABE,再过点B把矩形ABCD第三次折叠,使点D落在直线AD上,得到折痕PQ.当沿着BE第四次将该纸片折叠后,点A就会落在EC上.
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材料②:已知AC是∠MAN的平分线.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,
则AB+AD=
 
AC(用含α的三角函数表示).
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材料③:
已知:如图甲,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ,设运动的时间为t(s)(0<t<2).
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编写试题选取的材料是
 
(填写材料的序号)
编写的试题是:(1)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式.
(2)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值.
(3)如图(2),连接PC,并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C.是否存在某一时刻t,使四边形PQP'C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长.
试题解答(写出主要步骤即可):(1)过点Q作QD⊥AP于点D,证△AQD∽△ABC,利用相似性质及面积解答;
(2)分别求得Rt△ACB的周长和面积,由周长求出t,代入函数解析式验证;
(3)利用余弦定理得出PC、PQ,联立方程,求得t,再代入PC解得答案.

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科目:初中数学 来源: 题型:

取一张矩形纸进行折叠.具体操作如下:
第一步:先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图(1)所示;
第二步:再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为B′得Rt△AB′E,如图(2)所示;
第三步:沿EB′线折叠得折痕EF,点A在直线EC上,如图(3)所示.
利用展开图(4)探究:
(1)找出图中的全等三角形;
(2)△AEF是什么三角形并证明你的结论.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

根据所给的基本材料,请你进行适当的处理,编写一道综合题.
编写要求:①提出具有综合性、连续性的三个问题;②给出正确的解答过程;③写出编写意图和学生答题情况的预测.
材料①:如图,先把一矩形纸片ABCD对折,得到折痕MN,然后把B点叠在折痕线上,得到△ABE,再过点B把矩形ABCD第三次折叠,使点D落在直线AD上,得到折痕PQ.当沿着BE第四次将该纸片折叠后,点A就会落在EC上.

材料②:已知AC是∠MAN的平分线.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,
则AB+AD=______AC(用含α的三角函数表示).

材料③:
已知:如图甲,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ,设运动的时间为t(s)(0<t<2).

编写试题选取的材料是______(填写材料的序号)
编写的试题是:(1)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式.
(2)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值.
(3)如图(2),连接PC,并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C.是否存在某一时刻t,使四边形PQP'C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长.
试题解答(写出主要步骤即可):(1)过点Q作QD⊥AP于点D,证△AQD∽△ABC,利用相似性质及面积解答;
(2)分别求得Rt△ACB的周长和面积,由周长求出t,代入函数解析式验证;
(3)利用余弦定理得出PC、PQ,联立方程,求得t,再代入PC解得答案.

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科目:初中数学 来源:2010年重庆市万州区初中数学教师专业知识竞赛试卷(解析版) 题型:解答题

根据所给的基本材料,请你进行适当的处理,编写一道综合题.
编写要求:①提出具有综合性、连续性的三个问题;②给出正确的解答过程;③写出编写意图和学生答题情况的预测.
材料①:如图,先把一矩形纸片ABCD对折,得到折痕MN,然后把B点叠在折痕线上,得到△ABE,再过点B把矩形ABCD第三次折叠,使点D落在直线AD上,得到折痕PQ.当沿着BE第四次将该纸片折叠后,点A就会落在EC上.

材料②:已知AC是∠MAN的平分线.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,
则AB+AD=______AC(用含α的三角函数表示).

材料③:
已知:如图甲,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ,设运动的时间为t(s)(0<t<2).

编写试题选取的材料是______(填写材料的序号)
编写的试题是:(1)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式.
(2)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值.
(3)如图(2),连接PC,并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C.是否存在某一时刻t,使四边形PQP'C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长.
试题解答(写出主要步骤即可):(1)过点Q作QD⊥AP于点D,证△AQD∽△ABC,利用相似性质及面积解答;
(2)分别求得Rt△ACB的周长和面积,由周长求出t,代入函数解析式验证;
(3)利用余弦定理得出PC、PQ,联立方程,求得t,再代入PC解得答案.

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