Question

【题目】矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E．

（1）求证：△ABE是等腰直角三角形；

（2）若∠CAE=15°，求证：△ABO是等边三角形；

（3）在（2）的条件下，求∠BOE的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠BOE=75°．

【解析】分析：（1）由矩形的性质和角平分线的性质得出△ABE是等腰直角三角形；

（2）由矩形的性质得出OA=OB，再由角的和差关系可得∠AOB=60°，即可得出结论；

（3）由（2）的结论得出∠OBE=30°，证出OB=BE，求出∠BOE的度数即可．

详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABE=90°．

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB．

∵∠CAE=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°，∴△AOB是等边三角形；

（3）由（2）得：△AOB是等边三角形，∴∠ABO=60°，∴∠OBE=90°﹣60°=30°．

∵BE=AB，OB=AB，∴OB=BE，∴∠BOE=（180°﹣30°）=75°．