Question

如图，△ABC中，∠CAB=45°，点D在△ABC内部，∠ADC=135°，点E在△ABC外部，EA=EB，DE平分∠ADB．
（1）如图1，求证：∠DBA=∠ACD；
（2）如图2，若CB⊥AB，猜想线段CD与AC之间的数量关系并证明．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）点E作EF⊥AD，EG⊥BD，由DE为角平分线，利用角平分线定理得到EF=EG，再由AE=BE，利用HL得到直角三角形AEF与直角三角形BEG全等，利用全等三角形对应角相等得到∠FAE=∠GBE，根据AE=BE，利用等边对等角得到一对角相等，利用等式的性质得到∠DAB=∠DBA，根据∠CAB=45°，∠ADC=135°，利用内角和定理及等式性质得到∠ACD=∠DAB，等量代换即可得证；
（2）AC=

2

CD，理由为：设ED交AB于点M，由∠DAB=∠DBA，利用等角对等边得到AD=BD，利用三线合一得到DE垂直于AB，AM=BM，再由CB垂直于AB，得到MN与BC平行，利用平行得比例，确定出M为AC中点，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADC与三角形DMC相似，由相似得比例，变形即可得证．

解答：（1）证明：过点E作EF⊥AD，EG⊥BD，F，G为垂足，如图1所示，
∵∠ADE=∠EDB，
∴EF=EG，
∵AE=EB，∠AFE=∠BGE=90°，
∴Rt△AFE≌Rt△BGE，
∴∠FAE=∠GBE，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠CAB=45°，∠ADC=135°，
∴∠DCA+∠CAD=∠CAD+∠DAB=45°，
∴∠ACD=∠DAB，
∴∠DBA=∠ACD；

（2）解：AC=

2

CD，理由为：
设ED交AB于点M，如图2所示，
∵∠DAB=∠DBA，
∴AD=DB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠DMA=90°，AM=BM，
延长ED交AC于点N，
∵∠ABC=∠DMA=90°，
∴MN∥BC，
∴

AM

MB

=

AN

NC

，
∵AM=BM，
∴AN=NC，
∵∠CAB=∠BCA=45°，
∴∠AND=∠ACB=45°，
∴∠CND=135°，
∴∠CND=∠CDA，
∵∠NCD=∠DCA，
∴△NDC∽△DAC，
∴

NC

DC

=

DC

AC

，
∴DC²=NC•AC=

1

2

AC²，
则AC=

2

DC．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．