Question

如图，两同心圆半径分别为

3

、3，点A、B分别为两同心圆上的动点，以AB为边作正方形ABCD，则OD的最大值为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形三边关系,正方形的性质

专题：

分析：把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OO′，再根据正方形的性质可得AB=AD，再求出∠BAO=∠DAO′，然后利用“边角边”证明△ABO和△ADO′全等，根据全等三角形对应边相等可得DO′=BO，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．

解答：解：如图，把AO绕点A顺时针旋转90°得到AO′，
∴△AOO′是等腰直角三角形，
∵AO=3，
∴OO′=

2

AO=3

2

，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠BAO+∠BAO′=∠DAO′+∠BAO′=90°，
∴∠BAO=∠DAO′，
在△ABO和△ADO′，

AO=AO′ ∠BAO=∠DAO′ AB=AD

，
∴△ABO≌△ADO′（SAS），
∴DO′=BO=

3

，
∴OO′+O′D≥OD，
当O、O′、D三点共线时，取“=”，
此时，OD的最大值为3

2

+

3

．
故答案为：3

2

+

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．