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    如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为（2，2
    		3
    ），AB=4
    		3
    ，∠B=60°，点D是线段OC上一点，且OD=4，连接AD．
    （1）求证：△AOD是等边三角形；
    （2）求点B的坐标；
    （3）平行于AD的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移．设直线l被四边形OABC截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t．
    ①当直线l与x轴的交点在线段CD上（交点不与点C，D重合）时，请直接写出m与t的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）
    ②若m=2，请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标．
    考点：一次函数综合题,等边三角形的性质,勾股定理,矩形的性质,解直角三角形的应用
    专题：综合题
    分析：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，根据已知条件，依据三角函数求得∠AOM=60°，根据勾股定理求得OA=4，即可求得．
    （2）过点A作AN⊥BC于点N，则四边形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根据三角函数求得AN、BN的值，从而求得OC、BC的长，得出点B的坐标．
    （3）①如图3，因为∠B=60°，BC=4
    		3
    ，所以PC=12，EM=
    		3
    2
    m，因为OC=8，所以PO=4，OF=t，MF=t-
    1
    2
    m，所以PM=4+（t-
    1
    2
    m），根据△PME∽△PCB即可求得m=
    1
    2
    t+2；
    ②如图4，△OEF是等边三角形所以OF=EF=m=2，在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°，所以BP=PE′÷sin∠B=
    4
    3
    		3
    ，PC=4
    		3
    -
    4
    3
    		3
    =
    8
    3
    		3
    ，根据勾股定理求得CF′=
    8
    3
    ，所以OF′=8+
    8
    3
    =
    32
    3
    ．
    解答：解：（1）如图2，证明：过点A作AM⊥x轴于点M，

    ∵点A的坐标为（2，2
    		3
    ），
    ∴OM=2，AM=2
    		3

    ∴在Rt△AOM中，tan∠AOM=
    AM
    OM
    =
    2
    		3
    2
    =
    		3

    ∴∠AOM=60°
    由勾股定理得，OA=
    		OM2+AM2
    =
    		22+(2
    		3
    )2
    =4
    ∵OD=4，
    ∴OA=OD，
    ∴△AOD是等边三角形．

    （2）如图2，解：过点A作AN⊥BC于点N，
    ∵BC⊥OC，AM⊥x轴，
    ∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°
    ∴四边形ANCM为矩形，
    ∴AN=MC，AM=NC，
    ∵∠B=60°，AB=4
    		3
    ，
    ∴在Rt△ABN中，
    AN=AB•sinB=4
    		3
    ×
    		3
    2
    =6，
    BN=AB•cosB=4
    		3
    ×
    1
    2
    =2
    		3

    ∴AN=MC=6，CN=AM=2
    		3
    ，
    ∴OC=OM+MC=2+6=8，
    BC=BN+CN=2
    		3
    +2
    		3
    =4
    		3
    ，
    ∴点B的坐标为（8，4
    		3
    ）．


    （3）①如图3，m=
    1
    2
    t+2；
    ②如图4，（2，0），（
    32
    3
    ，0）．
    点评：本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，直角三角函数的应用以及勾股定理的应用．
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    x
    m
    ＜-
    y
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    （2）当点E与点Q重合时，求t的值；
    （3）如图②，当点Q在AD边上运动时，以PE和EQ为边作?PEQF，设?PEQF和△ACD重叠部分图形的面积为s．
    ①求s与t的函数关系式；
    ②当?PEQF为菱形时，请直接写出t的值．

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    画图并填空：
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    （3）根据“图形平移”的性质，得BB1=
     
    cm，AC与A1C1的位置关系是：
     
    ．

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    问题提出
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    初步思考
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    （1）当C、D在线段AB的同侧时．

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    ．
    如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB
     
    ∠ADB；
    如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB
     
    ∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）
    由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：
     
    ．
    类比学习
    （2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．

        由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：
     
    ．
    拓展延伸
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    已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB
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    CF
    FD
    =
    1
    3
    ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．
    （1）求证：△ADF∽△AED；
    （2）求FG的长；
    （3）求证：tan∠E=
    		5
    4
    ．

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