如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．分析 （1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；
（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．
（3）先求出CF，再用△PCF的面积恰好等于矩形OABC的面积，求出PG（点P横坐标）即可．
解答 解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），
∴BC=2，
∵点D为BC的中点，
∴CD=1，
∴点D的坐标为（1，3），
代入双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得k=1×3=3；
∴反比例函数的表达式y=$\frac{3}{x}$，
∵BA∥y轴，
∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，
∵点E在双曲线上，
∴y=$\frac{3}{2}$，
∴点E的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）；
（2）∵点E的坐标为（2，$\frac{3}{2}$），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），
∴BD=1，BE=$\frac{3}{2}$，BC=2
∵△FBC∽△DEB，
∴$\frac{CF}{DB}=\frac{BC}{EB}$．
即：$\frac{CF}{1}=\frac{2}{\frac{3}{2}}$，
∴FC=$\frac{4}{3}$，
∴点F的坐标为（0，$\frac{5}{3}$），
设直线FB的解析式y=kx+b（k≠0）
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{5}{3}$，
∴直线FB的解析式y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$，
（3）如图，过点P作PG⊥y轴，
由（2）有，直线FB的解析式y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$，
∴F（0，$\frac{5}{3}$），
∵C（0，3），
∴CF=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∵矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），
∴OA=2，OC=3，
∴S矩形OABC=2×3=6，
∵若△PCF的面积恰好等于矩形OABC的面积，
∴S△PCF=6，
∴S△PCF=$\frac{1}{2}$×CF×PG=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×PG=6，
∴PG=9，
∵点P是反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上的一点，
∴P（9，$\frac{1}{3}$）．
点评 此题是反比例函数解析式，主要考查了待定系数法求函数解析式，以及矩形的性质，面积公式，解本题的关键是求出反比例函数的解析式，解题时注意点的坐标与线段长的相互转化．
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