Question

2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段上，连接EF、CF，则下列结论
①∠BCD=2∠DCE；
②EF=CF；
③∠DFE=3∠AEF，
④S_△BEC=2S_△CEF
中一定成立的是①②③．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系，进而得出答案．

解答 解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
即∠BCD=2∠DCE；故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDM}\\{AF=DF}\\{∠AFE=∠DFM}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
④∵EF=FM，
∴S_△EFC=S_△CFM，
∵MC＞BE，
∴S_△BEC＜2S_△EFC
故S_△BEC=2S_△CEF错误；
综上可知：一定成立的是①②③，
故答案为：①②③．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．