Question

【题目】四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点．

（1）如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接 PC，求证：∠AEB=∠PCD．
（2）如图1，当PA=PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数．
（3）连接AP并延长交射线BC于点E，连接 PC，若∠ABC=90°且△PCE是等腰三角形，求∠PEC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠PDA=∠PDC，AD=CD AD∥BC，

在△PAD与△PCD中，

，

∴△PAD≌△PCD（SAS），

∴∠PAD=∠PCD，

又∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠PAD=∠PCD

（2）

解：如图1，

（方法一）∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA，

设∠PAD=∠PDA=x，则∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x

∵PC⊥BE

∴2x+x=90°，

∴x=30°，

∴∠ABC=2x=60°；

（方法二）：延长CP交AD于M，

∵AD∥BC，PC⊥BC，

∴CM⊥AD

∵PA=PD，

∴△PAM≌△PDM （HL），

∴AM=DM，

∴CM垂直平分AD

连接AC，则AC=CD=BC=AB，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°

（3）

解：①当点E在BC的延长线上时，如图2，

△PCE是等腰三角形，则CP=CE，

∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，

在△ABP与△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP

∵∠BAP+∠PEC=90°，2∠PEC+∠PEC=90°，

∴∠PEC=30°；

②当点E在BC上时，如图3，

△PCE是等腰三角形，则PE=CE，

∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP=BP，

∴△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵∠BAP+∠AEB=90°，2∠BCP+∠BCP=90°

∴∠BCP=30°，

∴∠AEB=60°，

∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°，

综上所述：∠PEC=30°或∠PEC=120°．

【解析】（1）利用菱形的性质，易得∠PDA=∠PDC，AD=CD，利用SAS定理证得△PAD≌△PCD，由全等三角形的性质及平行线的性质得到结论；（2）方法一，首先利用等腰三角形的性质得∠PAD=∠PDA，设∠PAD=∠PDA=x，利用外角性质易得∠BPC=2x，因为PC⊥BE，得x，得∠ABC的度数；方法二，利用平行线的性质易得CM⊥AD，由全等三角形的判定得△PAM≌△PDM，得AM=DM，由垂直平分线的性质得AC=CD=BC=AB，得△ABC是等边三角形，得∠ABC的度数；（3）分类讨论：①当点E在BC的延长线上时，首先利用等腰三角形的性质得CP=CE，易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，由正方形的性质得∠PBA=∠PBC=45°，由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP，易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP，因为∠BAP+∠PEC=90°，求得∠PEC的度数；②当点E在BC上时，同理得出结论．
【考点精析】利用菱形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．