Question

17．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的动点，BC∥OP，BC=OP．
（1）求证：四边形AOCP是平行四边形；
（2）若AB=4，填空：
①当AP=2时，四边形AOCP是菱形；
②当AP=2$\sqrt{2}$时，四边形OBCP是正方形．

Answer 1

分析 （1）先判断出四边形OBCP是平行四边形，得出OB=PC，OB∥PC，再判断出OA=PC，从而得出结论；
（2）由菱形直接得出邻边相等求出AP；
（2）由正方形得出∠AOP为直角，用勾股定理求解即可．

解答 解：（1）∵BC∥OP，BC=OP，
∴四边形OBCP是平行四边形，
∴OB=PC，OB∥PC，
∵AB是半圆O的直径，
∴OA=OB，
∴OA=PC，
∵OB∥PC，
∴四边形AOCP是平行四边形；
（2）由（1）知，四边形AOCP是平行四边形，
∵四边形AOCP是菱形；
∴AP=OA=$\frac{1}{2}$AB=2，
故答案为2，
（3）由（1）知，四边形OBCP是平行四边形，
∵四边形OBCP是正方形．
∴∠BOP=∠AOP=90°，
在Rt△AOP中，OA=OP=$\frac{1}{2}$AB=2
根据勾股定理得AP=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形、正方形的性质，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出四边形AOCP是平行四边形．