Question

8．在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A（0，4）．△AOB是等边三角形，点B在第一象限．
（1）如图①，求点B的坐标；
（2）如图②，点P是x轴上的一点P （$\sqrt{3}$，0），连接AP，以点A为旋转中心，把△AOP逆时针旋转，使边AO与AB重合，得△ABD，求此时点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）过B作BC⊥y轴于C，根据等边三角形的性质得到AC=OC=$\frac{1}{2}$AO=2，∠AOB=60°，解直角三角形即可得到结论；
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，利用旋转的性质得到两三角形全等，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到AP=AD，∠DAB=∠PAO，进而得到三角形ADP为等腰直角三角形，求出AP的长，即为等边三角形的边长，如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，可得BG⊥DH，在直角三角形BDG中，求出BG与DG的长，进而确定出OH与DH的长，确定出D坐标即可．

解答 解：（1）过B作BC⊥y轴于C，
∵点A（0，4），
∴OA=4，
∵△AOB是等边三角形，
∴AC=OC=$\frac{1}{2}$AO=2，∠AOB=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$OC=2$\sqrt{3}$，
∴B（2$\sqrt{3}$，2）；

（2）∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{19}$，
如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，可得BG⊥DH，
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，BD=OP=$\sqrt{（\sqrt{19}）^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BG=BD•cos60°=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DG=BD•sin60°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴OH=EG=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，DH=$\frac{7}{2}$，
∴点D的坐标为（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．