Question

【题目】如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A.CD+DF=4
B.CD﹣DF=2 ﹣3
C.BC+AB=2 +4
D.BC﹣AB=2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如图，
设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG=DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°，
∵∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC，
在△OMG和△GCD中，

∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．
∵AB=CD，
∴BC﹣AB=2．
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r= （a+b﹣c），
∴c=a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2 ，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，
又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，
解得 （舍去），
∴ ，
∴BC+AB=2 +4．
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN= ，OF=x，ON= ，
由勾股定理可得 ，
解得x=4 ，
∴CD﹣DF= ，CD+DF= ．
综上只有选项A错误，
故选A．
【考点精析】掌握三角形的内切圆与内心和翻折变换（折叠问题）是解答本题的根本，需要知道三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．