Question

5．如图，在△ABC中，以点AB为直径的⊙O分别与AC、BC相交于D、E两点，且AD=CD，过点D作⊙O的切线交BC于点F．
（1）求证：DF⊥BC
（2）若∠CDF=30°，BD=8$\sqrt{3}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由AD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥BC；
（2）根据已知条件得到△OAD是等边三角形，得到∠AOD=∠A=60°，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，求得AB=16，推出△ABC是等边三角形，于是得到AC=AB=16．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示．

∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵AD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥BC；
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODA=180°-∠CDF-∠ODF=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=∠A=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD=8$\sqrt{3}$，
∴AB=16，
∵∠DFC=90°，
∴∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=16．

点评 本题考查了切线的性质、等边三角形的判断和性质，解题的关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△OAD是等边三角形．