Question

如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=4，AD、AE分别是△ABC的中线和角平分线，则△ADE的面积为

 

．

Answer 1

分析：过E作EF∥AB交AC于F，过A作AG⊥BC于G，先根据勾股定理得BC=

41

，再根据中线的定义求得BD；然后利用等积法可求出斜边上的高AG，由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理和平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似得到BE：EC=EF：FC，EF：FC=BA：AC=5：4，易证得FE=AF，则BE：EC=5：4，可求出BE，从而得到DE，最后根据三角形的面积公式计算即可．

解答：解：过E作EF∥AB交AC于F，过A作AG⊥BC于G，如图，
∵∠BAC=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=

AB2+AC2

=

52+42

=

41

，
又∵AD是△ABC的中线，
∴BD=

1

2

BC=

41

2

，
而S_△ABC=

1

2

BC•AG=

1

2

AB•AC，
∴AG=

5×4

41

=

20 41

41

，
∵EF∥AB，
∴BE：EC=AF：FC，
而AE是角平分线，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=EF，
∴BE：EC=EF：FC，
又∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴EF：FC=BA：AC=5：4，
∴BE：EC=5：4，
∴BE=

5

9

AB=

5 41

9

，
∴DE=BE-BD=

41

18

，
∴S_△ADE=

1

2

DE•AG=

1

2

•

41

18

•

20 41

41

=

5

9

．
故答案为

5

9

．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理以及三角形的面积公式．