Question

有一组等式：
1²+2²+2²=3²，
2²+3²+6²=7²，
3²+4²+12²=13²，
4²+5²+20²=21²
…
请观察它们的构成规律，用你发现的规律解答下面的问题：
（1）写出第8个等式为

 

；
（2）试用含正整数n的等式表示你所发现的规律；
（3）说明你在（2）中所写等式成立的理由．

Answer 1

考点：整式的混合运算,规律型：数字的变化类

专题：计算题

分析：（1）观察一系列等式，得出第8个等式；
（2）归纳总结得到一般性规律写出即可；
（3）利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并即可证明．

解答：解：（1）根据题意得：第8个等式为：8²+9²+72²=73²；
故答案为：8²+9²+72²=73²；
（2）归纳总结得：n²+（n+1）²+[n（n+1）]²=[n（n+1）+1]²，n为正整数；
（3）理由：n²+（n+1）²=n²+n²+2n+1=2n²+2n+1，[n（n+1）+1]²-[n（n+1）]²=（n²+n+1+n²+n）（n²+n+1-n²-n）=2n²+2n+1，
∴n²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²-[n（n+1）]²，
即n²+（n+1）²+[n（n+1）]²=[n（n+1）+1]²，
则（2）中的等式成立．

点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．