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精英家教网如图,若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉,得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的
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,请说明理由.(写出证明及计算过程)
分析:本题中易证四边的四个小直角三角形全等,那么可设一边为x,那么另一边就是(1-x),可用勾股定理求出里面的正方形的边长的平方也就是其面积,然后根据剩下图形的面积为原来正方形面积的
5
9
,来列方程求解.
解答:精英家教网解:∵A1B1C1D1是正方形,
∴A1B1=B1C1=C1D1=D1A1
∵∠AA1D1+∠AD1A1=90°,∠AA1D1+∠BA1B1=90°,
∴∠AD1A1=∠BA1B1
同理可得:∠AD1A1=∠BA1B1=∠DC1D1=∠C1B1C,
∵∠A=∠B=∠C=∠D,
∴△AA1D1≌△BB1A1≌△CC1B1≌△DD1C1
∴AA1=D1D,
设AD1=x,那么AA1=DD1=1-x,
Rt△AA1D1中,根据勾股定理可得:
A1D12=x2+(1-x)2
∴正方形A1B1C1D1的面积=A1D12=x2+(1-x)2=
5
9

解得x=
1
3
,x=
2
3

答:依次将四周的直角边分别为
1
3
2
3
的直角三角形减去即可.
点评:对于面积问题应熟记各种图形的面积公式.另外,整体面积=各部分面积之和;剩余面积=原面积-截去的面积.
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