Question

如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A₁B₁C₁D₁．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的

5

9

，请说明理由．（写出证明及计算过程）

Answer 1

分析：本题中易证四边的四个小直角三角形全等，那么可设一边为x，那么另一边就是（1-x），可用勾股定理求出里面的正方形的边长的平方也就是其面积，然后根据剩下图形的面积为原来正方形面积的

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9

，来列方程求解．

解答：解：∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁B₁=B₁C₁=C₁D₁=D₁A₁，
∵∠AA₁D₁+∠AD₁A₁=90°，∠AA₁D₁+∠BA₁B₁=90°，
∴∠AD₁A₁=∠BA₁B₁，
同理可得：∠AD₁A₁=∠BA₁B₁=∠DC₁D₁=∠C₁B₁C，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△AA₁D₁≌△BB₁A₁≌△CC₁B₁≌△DD₁C₁，
∴AA₁=D₁D，
设AD₁=x，那么AA₁=DD₁=1-x，
Rt△AA₁D₁中，根据勾股定理可得：
A₁D₁²=x²+（1-x）²，
∴正方形A₁B₁C₁D₁的面积=A₁D₁²=x²+（1-x）²=

5

9

，
解得x=

1

3

，x=

2

3

．
答：依次将四周的直角边分别为

1

3

和

2

3

的直角三角形减去即可．

点评：对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积-截去的面积．