已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE=AP=1，PB=$\sqrt{5}$．下列结论：| A． | ①③④ | B． | ①②⑤ | C． | ③④⑤ | D． | ①③⑤ |
分析 由于∠EAP=90°，所以∠EAB=∠DAP，又因为AP=AE，AD=AB，所以△APD≌△DAP，从而得出∠EBA=∠PDA，即可知∠BED=∠BAD=90°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，所以△BFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE和BF的长度，从而可求出AB2，即正方形ABCD的面积，由于S△APD+S△APB=S△AEB+S△APB=S△AEP+S△PEB，所以求出△AEP与△PEB的面积即可．
解答 解：在正方形ABCD中，
AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠EAP=90°，
∴∠EAB+∠BAP=∠DAP+∠BAP，
∴∠EAB=∠DAP，
在△APD与△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AE}\\{∠EAB=∠DAP}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AEB（SAS），
故①正确；
∵△APD≌△AEB，
∴∠EBA=∠PDA，
∴∠BED=∠BAD=90°，
∴BE⊥ED，
故③正确，
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，
∵∠EAP=90°，
AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∵∠FEB+∠AEP=90°，
∠FEB+∠EBF=90°，
∴∠AEP=∠EBF=45°，
∴EF=BF，
∵AE=AP=1，
∴由勾股定理可求得：EP=$\sqrt{2}$，
∵PB=$\sqrt{5}$，
∴由勾股定理可求得：BE=$\sqrt{3}$，
∵EF2+BF2=2BF2=BE2，
∴BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故②错误，
∵BF=EF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AF=AE+EF=1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴由勾股定理可知：AB2=AF2+BF2=4+$\sqrt{6}$，
故④正确，
∵△APD≌△AEB，
∴S△APD=S△AEB，
∴S△APD+S△APB
=S△AEB+S△APB
=S△AEP+S△PEB
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故⑤错误，
故选（A）
点评 本题考查四边形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．
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如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且 CE=CF．连接CA、CD、CB．查看答案和解析>>
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在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位长度，点在弧线上的速度为每秒$\frac{2π}{3}$个单位长度，则2015秒时，点P的坐标是（ ）| A． | （2015，0） | B． | （2015，$\sqrt{3}$） | C． | （2015，-$\sqrt{3}$） | D． | （2016，0） |
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| A． | y1＞y2＞y3 | B． | y2＞y3＞y1 | C． | y2＞y1＞y3 | D． | y1＞y3＞y2 |
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如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，则图中与∠AGE相等的角（ ）