Question

（2013•路北区三模）已知：如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ADE=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）首先由等腰三角形的性质，可得∠OAD=∠ODA，易证得DO∥MN，即可得DE⊥OD，即得DE是⊙O的切线；
（2）根据阴影部分的面积等于扇形面积减去等边△OAB的面积求解即可．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角），
∵AD平分∠CAM（已知），
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE（等量代换），
∴DO∥MN（内错角相等，两直线平行）；
∵DE⊥MN（已知），
∴DE⊥OD，
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：过点O作OF⊥AB于F．
∵∠ADE=30°，DE⊥MN，
∴∠DAE=60°；
又∵AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠DAE=60°，
∴∠CAB=60°，
∴∠AOF=30°，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠CAB=

AF

OA

=

1

2

，
∴AF=1；
∴OF=

3

，
∴S_阴影=S_扇形-S_△OAB=

60π×2

180

-

1

2

×2×

3

=

2

3

π-

3

．

点评：此题考查了圆的切线的性质与判定，以及相似三角形的判定与性质和三角函数的性质．此题综合型性比较强，解题时要注意数形结合思想的应用．