Question

4．已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0），经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为y=$\frac{20}{x}$（x＞0）；②E点的坐标是（4，8）；③sin∠COA=$\frac{4}{5}$；④AC+OB=12$\sqrt{5}$
（1）其中正确的结论有：②③④．
（2）对你的判断说明理由．

Answer 1

分析 过点C作CF⊥x轴于点F，由OB•AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA=$\frac{CF}{OC}$可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB•AC=160即可求出OB的长．

解答 解：（1）正确的结论有：②③④；
（2）理由如下：
解：过点C作CF⊥x轴于点F，
∵OB•AC=160，A点的坐标为（10，0），
∴OA•CF=$\frac{1}{2}$OB•AC=$\frac{1}{2}$×160=80，菱形OABC的边长为10，
∴CF=$\frac{80}{OA}$=$\frac{80}{10}$=8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴C（6，8），
∵点D时线段AC的中点，
∴D点坐标为（$\frac{10+6}{2}$，$\frac{8}{2}$），即（8，4），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过D点，
∴4=$\frac{k}{8}$，即k=32，
∴双曲线的解析式为：y=$\frac{32}{x}$（x＞0），故①错误；
∵CF=8，
∴直线CB的解析式为y=8，
联立直线BC和反比例函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{32}{x}}\\{y=8}\end{array}\right.$，解得x=4，y=8，
∴E点坐标为（4，8），故②正确；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA=$\frac{CF}{OC}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，故③正确；
∵A（10，0），C（6，8），
∴AC=$\sqrt{（10-6）^{2}+（0-8）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵OB•AC=160，
∴OB=$\frac{160}{AC}$=$\frac{160}{4\sqrt{5}}$=8$\sqrt{5}$，
∴AC+OB=4$\sqrt{5}$+8$\sqrt{5}$=12$\sqrt{5}$，故④正确．
故答案为：②③④．

点评 本题主要考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的性质及反比例函数的性质、锐角三角函数的定义等相关知识，难度适中．