Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，4），动点D从点O向点A以每秒两个单位的速度运动，动点E从点C向点O以每秒一个单位的速度运动，设D、E两点同时出发，运动时间为t秒，将△ODE沿DE翻折得到△FDE．

（1）若四边形ODFE为正方形，求t的值；

（2）若t＝2，试证明A、F、C三点在同一直线上；

（3）是否存在实数t，使△BDE的面积最小？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝；（2）见解析；（3）存在实数t，使△BDE的面积最小，t＝2秒．理由见解析.

【解析】

（1）由正方形的性质得出OE∥DF，OE=DF由折叠的性质得出OD=DF，由OD=2t，OE=4-t，得出方程2t=4-t，解方程即可；
（2）连接AC，作OG⊥AC于G，由t=2，得出OE=CE=2，OD=DA=4，由三角形中位线定理得出DE∥AC，且DE=AC，由平行线得出，得出DE垂直平分OF，得出G与F点重合，即可得出结论；
（3）由题意得出S△BDE=S矩形OABC-S△BCE-S△ABD-S△ODE=t2-4t+16，由二次函数的性质即可得出结果．

（1）解：∵矩形OABC中，B（8，4），

∴OA＝8，OC＝4，

∵四边形ODEF为正方形，

∴OE∥DF，OE＝DF，

∵△ODE沿DE翻折得到△FDE，

∴OD＝DF，

∵OD＝2t，OE＝4﹣t，

∴2t＝4﹣t，t＝；

（2）证明：连接AC，作OG⊥AC于G，如图1所示：

∵t＝2，

∴OE＝BE＝2，OD＝DE＝4，

∴DE是△OAC的中位线，

∴DE∥AC，且DE＝AC，

∴

∴DE垂直平分OF，

由折叠的性质得：DE垂直平分OF，

∴G与F点重合，

即A、C、F三点在同一条直线；

（3）解：存在，理由如下：如图2所示：

∵S△BDE＝S△ABC﹣S△BCE﹣S△ABD﹣S△ODE

＝

＝32﹣4t﹣16+4t﹣4t+t2

＝t2﹣4t+16

＝（t﹣2）2+12，

∴t＝2时，S△BDE有最小值为12；

即存在实数t，使△BDE的面积最小，t＝2秒．