Question

8．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1、3，与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中：
①2a+b=0；
②c=-3a；
③只有当a=$\frac{1}{2}$时，△ABD是等腰直角三角形；
④使△ACB为等腰三角形的a的值有三个．
其中正确的结论是①②③．（请把正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答 解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，
∴AB=4，
∴对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
即2a+b=0．故①正确；
②∵A点坐标为（-1，0），
∴a-b+c=0，而b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a．故②正确；
③要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．
当x=1时，y=a+b+c，
即|a+b+c|=2，
∵当x=1时y＜0，
∴a+b+c=-2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，
∴当x=-1时y=0，即a-b+c=0，
x=3时y=0，即9a+3b+c=0，
解这三个方程可得：b=-1，a=$\frac{1}{2}$，c=-$\frac{3}{2}$．故③正确；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
当AB=BC=4时，
∵BO=3，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c²=16-9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-$\sqrt{7}$，
与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组，解得a=$\frac{\sqrt{7}}{3}$；
同理当AB=AC=4时，
∵AO=1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c²=16-1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-$\sqrt{15}$，
与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组，解得a=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
同理当AC=BC时，
在△AOC中，AC²=1+c²，
在△BOC中BC²=c²+9，
∵AC=BC，
∴1+c²=c²+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．所以④错误．
故答案为：①②③．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．