Question

如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：CD=DE．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理以及圆心角与所对弦的关系，直接得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质即可得出BD=DE，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵AD为直径，AD⊥BC，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD．

（2）∵

BD

=

CD

，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠DBE=∠CBE+∠CBD，∠BED=∠ABE+∠BAD，
∴∠BAD+∠ABE=∠CBD+∠EBF，
即∠BED=∠EBD，
∴BD=DE，
∴CD=DE．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理和角平分线的性质，根据已知得出∠DBE=∠BED是解题关键．