Question

如图，△ABC是Rt△，∠CAB=30°，BC=1，以AB、BC、AC为边分别作3个等边△ABF，△BCE，△ACD．过F作MF垂直DA的延长线于点M，连接并延长DE交MF的延长线于点N．那么tan∠N=

3

5

．

Answer 1

分析：作EG⊥MN于点G，在直角△ABC中，利用三角函数即可求得AB、AC的长度，从而求得DM、EF的长，在直角△EFG中，利用三角函数求得FG的长，EG的长度，然后利用△DMN∽△EGN，相似三角形的对应边的比相等，即可求得MN的长，然后利用正切函数的定义即可求解．

解答：解：作EG⊥MN于点G．
∵在直角△ABC中，BC=1，∠CAB=30°，
∴AB=2，AC=

3

，
∵△ABF，△BCE，△ACD是等边三角形，
∴AD=AC=

3

，AB=BF=AF=2，BE=BC=1，
∵在直角△AMF中，∠MAF=30°，AF=AB=2，
∴AM=

3

，MF=1，
∴DM=AD+AM=

3

+

3

=2

3

，EF=BE+BF=1+2=3，
又∵直角△EFG中，∠FEG=30°，
∴FG=

1

2

EF=

3

2

，EG=

3 3

2

，
∴MG=1+

3

2

=

5

2

，
∵EG∥DM，
∴△DMN∽△EGN，
∴

EG

DM

=

GN

MN

，设GN=x，
∴

3 3 2

2 3

=

x

x+ 5 2

，
解得：x=

15

2

，则MN=

15

2

+

5

2

=10，
∴tanN=

DM

MN

=

2 3

10

=

3

5

．
故答案是：

3

5

．

点评：本题考查了三角函数的定义，以及解直角三角形的方法，相似三角形的性质，正确求得MN的长度是关键．