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平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点 A的坐标为(1,0),OB=OC,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB,求点P的坐标;
(3)在(1)的条件下,对于实数c、d,我们可用min{ c,d }表示c、d两数中较小的数,如min{3,}=.若关于x的函数y = min{}的图象关于直线对称,试讨论其与动直线交点的个数。
(1);(2)
(3)当时,动直线与函数图象无交点;
时,动直线与函数图象有唯一的一个交点;
时,动直线与函数图象有两个交点;
时,动直线与函数图象有三个交点;
时,动直线与函数图象有四个交点;
时,动直线与函数图象有三个交点;
时,动直线与函数图象有三个交点.

试题分析:(1)首先将已知的抛物线解析式进行配方,得出对称轴方程后结合A点坐标可确定B点的坐标,由OB=OC的条件能得到C点坐标,利用待定系数法即可确定函数的解析式.
(2)此题需要进行适当转化,首先作△ABC的外切圆,根据圆周角定理可知:P点应为抛物线对称轴与⊙E的交点,那么只需求出圆心E的坐标和⊙E的半径即可得到P点坐标.首先由A、B的坐标可确定F点的坐标以及AF的长,而弦BC的垂直平分线过点E,由此可确定该中垂线的解析式,进一步可确定点E的坐标;然后在Rt△AEF中,通过解直角三角形可得到圆的半径长,由此求出全部条件;
(3)由题意可知所求得的函数的解析式为,由函数图象分等情况分析.
(1)∵
∴ 抛物线的对称轴为直线
∵ 抛物线与x轴交于
点A、点B,点A的坐标为
∴ 点B的坐标为,OB=3.
可得该抛物线的解析式为
∵ OB=OC,抛物线与y轴的正半轴交于点C,
∴ OC=3,点C的坐标为
将点C的坐标代入该解析式,解得a=1.
∴ 此抛物线的解析式为
(2)作△ABC的外接圆☉E,设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F,设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点,点关于x轴的对称点为点,点、点均为所求点.

可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上.
都是弧AB所对的圆周角,
,且射线FE上的其它点P都不满足
由(1)可知 ∠OBC=45°,AB=2,OF=2.
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上.
∴ 点E的坐标为
∴ 由勾股定理得

∴ 点的坐标为
由对称性得点的坐标为
∴符合题意的点P的坐标为.
(3)由题意可知,原二次函数的解析式为可得,
所求得的函数的解析式为
由函数图象可知:当时,动直线与函数图象无交点;
时,动直线与函数图象有唯一的一个交点;
时,动直线与函数图象有两个交点;
时,动直线与函数图象有三个交点;
时,动直线与函数图象有四个交点;
时,动直线与函数图象有三个交点;
时,动直线与函数图象有三个交点.
点评:这道二次函数题由于融合了圆、解直角三角形、轴对称图形等重点知识,难度较大;(2)中,将角相等转化为圆的相关问题是打开解题突破口的关键,应注意并总结转化思想在解题中的妙用.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)设此抛物线与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,点P是在直线右侧的此抛物线上一点,过点PPM轴,垂足为M. 若以APM为顶点的三角形与△OCB相似,求点P的坐标;
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