试题分析:(1)首先将已知的抛物线解析式进行配方,得出对称轴方程后结合A点坐标可确定B点的坐标,由OB=OC的条件能得到C点坐标,利用待定系数法即可确定函数的解析式.
(2)此题需要进行适当转化,首先作△ABC的外切圆,根据圆周角定理可知:P点应为抛物线对称轴与⊙E的交点,那么只需求出圆心E的坐标和⊙E的半径即可得到P点坐标.首先由A、B的坐标可确定F点的坐标以及AF的长,而弦BC的垂直平分线过点E,由此可确定该中垂线的解析式,进一步可确定点E的坐标;然后在Rt△AEF中,通过解直角三角形可得到圆的半径长,由此求出全部条件;
(3)由题意可知所求得的函数的解析式为
,由函数图象分
、
、
、
、
、
、
等情况分析.
(1)∵
,
∴ 抛物线的对称轴为直线
.
∵ 抛物线
与x轴交于
点A、点B,点A的坐标为
,
∴ 点B的坐标为
,OB=3.
可得该抛物线的解析式为
.
∵ OB=OC,抛物线与y轴的正半轴交于点C,
∴ OC=3,点C的坐标为
.
将点C的坐标代入该解析式,解得a=1.
∴ 此抛物线的解析式为
.
(2)作△ABC的外接圆☉E,设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F,设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点
,点
关于x轴的对称点为点
,点
、点
均为所求点.
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线
上.
∵
、
都是弧AB所对的圆周角,
∴
,且射线FE上的其它点P都不满足
.
由(1)可知 ∠OBC=45°,AB=2,OF=2.
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线
上.
∴ 点E的坐标为
.
∴ 由勾股定理得
.
∴
.
∴ 点
的坐标为
.
由对称性得点
的坐标为
.
∴符合题意的点P的坐标为
、
.
(3)由题意可知,原二次函数的解析式为
可得,
所求得的函数的解析式为
由函数图象可知:当
时,动直线
与函数图象无交点;
当
时,动直线
与函数图象有唯一的一个交点;
当
时,动直线
与函数图象有两个交点;
当
时,动直线
与函数图象有三个交点;
当
时,动直线
与函数图象有四个交点;
当
时,动直线
与函数图象有三个交点;
当
时,动直线
与函数图象有三个交点.
点评:这道二次函数题由于融合了圆、解直角三角形、轴对称图形等重点知识,难度较大;(2)中,将角相等转化为圆的相关问题是打开解题突破口的关键,应注意并总结转化思想在解题中的妙用.