Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上一点，且AD∥OC．
（1）求证：△ADB∽△OBC．
（2）若AB=6，BC=4．求AD的长度．（结果保留根号）

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据圆周角定理和切线性质推出∠D=∠OBC=90°，求出∠A=∠COB，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）求出OC，根据相似得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠D=∠OBC=90°，
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，
∴△ADB∽△OBC；

（2）∵AB=6，
∴OB=3，
∵BC=4，
∴OC=

OB2+BC2

=5，
∵△ADB∽△OBC
∴

AD

OB

=

AB

OC

，
∴

AD

3

=

6

5

，
∴AD=

18

5

．

点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．