Question

【题目】在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE，CF并延长，分别交DA，BA的廷长线于点H，G．

（1）如图1，若四边形ABCD是菱形，∠ECF＝∠BCD，求证：AC2＝AHAG；

（2）如图2，若四边形ABCD是正方形，∠ECF＝45°，BC＝4，设AE＝x，AG＝y，求y与x的函数关系式；

（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，AB：AD＝1：2，CG＝CH，∠GCH＝45°，请求tan∠AHG的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y＝；（3）

【解析】

（1）通过证明△ACG∽△AHC，可得，可得结论；

（2）通过证明△ACG∽△AHC，可得，可得AC2=AHAG，通过证明△EAH∽△EBC，可得，即，即可求y与x的函数关系式；

（3）取BC中点M，过点M作MN∥BG，交AD于点P，交CG于点N，连接CP，可证四边形CDPM是正方形，由（2）可知△CPN∽△HPC，由相似三角形的性质可得，可求AH，AG的长，即可求tan∠AHG的值．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形

∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD，AD∥BC，CD∥AB

∴∠G＝∠DCG，∠H＝∠BCH

∵∠ECF＝∠BCD

∴∠ACD＝∠ACB＝∠ECF

∴∠DCG＝∠ACH，∠BCE＝∠ACG，

∴∠G＝∠ACH，∠H＝∠ACG

∴△ACG∽△AHC

∴

∴AC2＝AHAG

（2）连接AC

∵四边形ABCD是正方形

∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝45°，AD∥BC，CD∥AB

∴∠G＝∠DCG，∠H＝∠BCH

∵∠ECF＝45°＝∠BCD

∴∠ACD＝∠ACB＝∠ECF

∴∠DCG＝∠ACH，∠BCE＝∠ACG，

∴∠G＝∠ACH，∠H＝∠ACG

∴△ACG∽△AHC

∴

∴AC2＝AHAG

∵BC＝AB＝4

∴AC＝4

∴y＝

∵BC∥AD

∴△EAH∽△EBC

∴

∴

∴AH＝

∴y＝

（3）如图，取BC中点M，过点M作MN∥BG，交AD于点P，交CG于点N，连接CP，

∵MN∥BG，

∴，且M是BC中点

∴

∴BC＝2CM，CG＝2CN，BG＝2MN

∵CG＝CH

∴CG＝CH＝2CN

∵CD∥BA，MN∥BG

∴CD∥MN∥BG

∴

∴DP＝PA

∵AB：AD＝1：2，

∴设AB＝a＝CD，AD＝2a＝BC，

∴CM＝a＝DP，且BC∥AD

∴四边形CDPM是平行四边形，且CD＝DP＝a，∠D＝90°

∴四边形CDPM是正方形，

∴CP＝a

∵四边形CDPM是正方形，且∠GCH＝90°，由（2）可得：△CPN∽△HPC

∴

∴

∴MN＝a+a，AH＝PN﹣PA＝a﹣a

∴BG＝2MN＝2a+a，

∴AG＝BG﹣AB＝a+a，

∴.