Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3与双曲线y=$\frac{4}{x}$的两个交点为A，B，其中A（-1，m）．
（1）求m的值及直线的表达式；
（2）若点M为x轴上一个动点，且△AMB为直角三角形，直接写出满足条件的点M的个数．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系数法求出点A坐标，进而代入双曲线解析式中即可得出结论；
（2）先求出点B的坐标，分三种情况，用勾股定理建立方程即可求出结论．

解答 解：（1）把A（-1，m）代入y=$\frac{4}{x}$得
∴m=-4
把A（-1，-4）代入y=kx-3
∴-4=-k-3
∴k=1
∴y=x-3，

（2）由（1）知，直线AB的解析式为y=x-3①，
∵双曲线的解析式为y=$\frac{4}{x}$②，
联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A（-1，-4），B（4，1），
设点M的坐标为（m，0），
∴AB²=50，AM²=（m+1）²+16，BM²=（m-4）²+1
∵△AMB是直角三角形，
∴①当∠AMB=90°时，AM²+BM²=AB²，
∴50=（m+1）²+16+（m-4）²+1，
∴m=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，
∴P（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，0）或（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，0）；
②当∠BAM=90°时，AB²+AM²=BM²，
∴50+（m+1）²+16=（m-4）²+1，
∴m=-5，
∴P（-5，0）；
③当∠ABM=90°时，AB²+BM²=AM²，
∴50+（m-4）²+1=（m+1）²+16，
∴m=5，
∴P（5，0）
∴满足条件的点M有4个．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，求函数的交点坐标的方法，直角三角形的性质，勾股定理定理，解本题的关键是用勾股定理建立方程求解，是一道基础题目．