Question

1．AB是⊙O的直径，∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=2$\sqrt{2}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接DO，由三角形的外角与内角的关系易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圆的切线．
（2）由1知，CD=OD=$\frac{1}{2}$AB，由弦切角定理可得∠CDB=∠A，故有△ADC∽△DBC，得到CD2=CB•CA=CB（CB+AB）而求得BC的值．

解答 （1）证明：连接DO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO=22.5°．
∴∠DOC=45°．
又∵∠ACD=2∠DAB，
∴∠ACD=∠DOC=45°．
∴∠ODC=90°．
又 OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：连接DB，
∵直径AB=2$\sqrt{2}$，△OCD为等腰直角三角形，
∴CD=OD=$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=2，
∴BC=OC-OB=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题利用了等边对等角，三角形的外角与内角的关系，切线的概念，相似三角形的判定和性质求解．