分析 (1)连接OD,由等腰三角形的性质得出∠1=∠2,证出∠1=∠3,得出MN∥OD,证出DE⊥OD,即可得出DE是⊙O的切线;
(2)连接CD,由圆周角定理得出∠ADC=90°,由勾股定理求出AD,证明△ADC∽△AED,得出对应边成比例$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$,求出直径AC,即可得出⊙O的半径.
解答 (1)证明:连接OD,如图1所示:
∵OA=OD,
∴∠1=∠2,
∵AD平分∠CAM,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴MN∥OD,
∵DE⊥MN,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:连接CD,如图2所示:
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$(cm),
∵DE⊥MN,
∴∠AED=90°,
∴∠ADC=∠AED,
又∵∠2=∠3,
∴△ADC∽△AED,
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$即$\frac{AC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2}$,
∴AC=10(cm),
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=10cm,
即⊙O的半径为5cm.
点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识;本题综合性强,有一定难度.
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A. | x(x-1)=15 | B. | x(x+1)=15 | C. | $\frac{x(x-1)}{2}$=15 | D. | $\frac{x(x+1)}{2}$=15 |
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