Question

2．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S_△AOP=$\frac{1}{2}$S_△AOB，求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；
（2）由条件可求得∠A=∠COB，利用三角函数的定义可得到OC²=AC•BC，可求得BC的长，可求得△AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；
（3）由条件可求得∠ABD=90°，则BD∥x轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．

解答 解：
（1）∵点A（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）∵A（$\sqrt{3}$，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC=$\sqrt{3}$，AC=1，
∵OA⊥OB，OC⊥AB，
∴∠A=∠COB，
∴tan∠A=$\frac{OC}{AC}$=tan∠COB=$\frac{CB}{OC}$，
∴OC²=AC•BC，即BC=3，
∴AB=4，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×4=2$\sqrt{3}$，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$S_△AOB=$\sqrt{3}$，
设点P的坐标为（m，0），
∴$\frac{1}{2}$×|m|×1=$\sqrt{3}$，解得|m|=2$\sqrt{3}$，
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m=-2$\sqrt{3}$，
∴点P的坐标为（-2$\sqrt{3}$，0）；

（3）由（2）可知tan∠COB=$\frac{CB}{OC}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠COB=60°，
∴∠ABO=30°，
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴∠OBD=60°，
∴∠ABD=90°，
∴BD∥x轴，
在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，
∴AO=DE=2，OB=DB=2$\sqrt{3}$，且BC=3，OC=$\sqrt{3}$，
∴OD=DB-OC=$\sqrt{3}$，BC-DE=1，
∴E（-$\sqrt{3}$，-1），
∵-$\sqrt{3}$×（-1）=$\sqrt{3}$，
∴点E在该反比例函数图象上．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、三角函数的定义、勾股定理、旋转的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得△AOP的面积是解题的关键，在（3）中求得BD⊥AB是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．