Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当∠AOF=90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时∠AOF度数．

Answer 1

【答案】
（1）当∠AOF=90°时，AB∥EF，

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形

（2）证明：∵四边形ABEF是平行四边形，

∴AO=CO，AF∥EC，

∴∠FAO=∠ECO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE，

∴AF=CE．

（3）解：结论：四边形BEDF可能是菱形．

∵△AOF≌△COE，

∴OE=OF，

∴EF与BD互相平分，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形，

在Rt△ABC中，AC= =2，

∴OA=1=AB，

∵AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴当四边形BEDF是菱形时，∠AOF=45°．

【解析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明．（2）只要证明△AOF≌△COE即可．（3）结论：四边形BEDF可能是菱形．根据菱形的对角线互相垂直即可解决问题．
【考点精析】掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定方法是解答本题的根本，需要知道若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．