Question

2．正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A（3，4），两图象与y轴围成的三角形面积为$\frac{15}{2}$．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）O为坐标原点，在x轴上找一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设一次函数与x轴交点坐标为（0，m）．利用三角形的面积公式，列出方程即可解决问题．
（2）分两种情形讨论①当OA=OP时，P（-5，0）或5，0）．②当AO=AP时，P（6，0）．

解答 解：（1）如图，设一次函数与x轴交点坐标为（0，m）．

由题意：$\frac{1}{2}$•|m|•3=$\frac{15}{2}$，
∴m=±5，
∴B（0，5），B′（0，-5），
∴正比例函数OA的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+5或y=3x-5．

（2）∵A（3，4），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
①当OA=OP时，P（-5，0）或5，0）．
②当AO=AP时，P（6，0），
综上所述，△OAP是以OA为腰的等腰三角形时点P的坐标（-5，0）或（5，0）或（6，0）．

点评 本题考查一次函数、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型、