Question

8．如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边分别向外作等边△ACE，M为AD中点，N为AE中点，P为BC中点．
（1）如图1，∠BAC=90°时，则∠MPN=60°；
（2）如图2，∠BAC=120°时，则∠MPN=60°；
（3）若△ACB为任意三角形，请把图3补充完整，并求出∠MPN的度数（写过程）．

Answer 1

分析 （1）如图1，设AC中点G、AB中点F，连接MF、PF；NG，PG．利用中位线定理可以证明△MFP≌△PGN，然后利用角之间的关系可以得到60°，
（2）如图2，设AC中点G、AB中点F，连接MF、PF；NG，PG．利用中位线定理可以证明△MFP≌△PGN，然后利用角之间的关系可以得到60°，
（3）由题意可知PF是等边△ABC的中位线，PG是△ABC的中位线，根据中位线的性质可知四边形AFPG是平行四边形，再根据平行四边形的性质可证明△MFP≌△PGN，再根据题意可得出∠MPN=60°

解答 解：（1）如图1，设AC中点G、AB中点F，连接MF、PF；NG，PG．
∴MF、PF、PG、GN分别是△ABD，△ABC，△ACE的中位线，
∴MF∥BD，MF=$\frac{1}{2}$BD，PF∥AC，PF=$\frac{1}{2}$AC，PG∥AB，PG=$\frac{1}{2}$AB，GN∥CE，GN=$\frac{1}{2}$CE．
∴四边形AFPG是平行四边形．∠AFM=∠ABD，∠AGN=∠ACE．
∵∠BAC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴∠AFG=∠AGP=∠FPG=90°．
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴BD=AB，AC=EC，∠ABD=∠ACE=60°
∴∠AFM=∠AGN=60°，$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AB，$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$EC
∴∠AFG+∠AFM=∠AGP+∠AGN=150°．MF=PG，PF=NG．
∴∠MFP=∠PGN．
在△MFP和△PGN中
$\left\{\begin{array}{l}{MF=PG}\\{∠MFP=∠PGN}\\{PF=NG}\end{array}\right.$，
∴△MFP≌△PGN（SAS），
∴∠PMF=∠NPG．
∵∠PMF+∠PFM+∠MPF=180°，
∴∠PMF+∠PFA+∠AFM+∠MPF=180°，
∴∠PMF+∠PFA+∠MPF=120°，
∴∠NPG+∠PFA+∠MPF=120°．
∴∠NPG+∠MPF=30°．
∵∠FPG=90°，
∴∠BPF+∠GPC=90°．
∵∠NPG+∠MPF+∠BPF+∠GPC+∠MPN=180°，
∴∠MPN=60°．
故答案为：60°；
（2）如图2，设AC中点G、AB中点F，连接MF、PF；NG，PG．
∴MF、PF、PG、GN分别是△ABD，△ABC，△ACE的中位线，
∴MF∥BD，MF=$\frac{1}{2}$BD，PF∥AC，PF=$\frac{1}{2}$AC，PG∥AB，PG=$\frac{1}{2}$AB，GN∥CE，GN=$\frac{1}{2}$CE．
∴四边形AFPG是平行四边形．∠AFM=∠ABD，∠AGN=∠ACE．
∴∠FPG=∠BAC．
∵∠BAC=120°，
∴∠FPG=120°．
∴∠AFP=∠AGP=60°
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴BD=AB，AC=EC，∠ABD=∠ACE=60°
∴∠AFM=∠AGN=60°，$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AB，$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$EC
∴∠AFG+∠AFM=∠AGP+∠AGN=120°．MF=PG，PF=NG．
∴∠MFP=∠PGN．
在△MFP和△PGN中
$\left\{\begin{array}{l}{MF=PG}\\{∠MFP=∠PGN}\\{PF=NG}\end{array}\right.$，
∴△MFP≌△PGN（SAS），
∴∠PMF=∠NPG．
∵∠PMF+∠PFM+∠MPF=180°，
∴∠PMF+∠PFA+∠AFM+∠MPF=180°，
∴∠PMF+∠PFA+∠MPF=120°，
∴∠NPG+∠PFA+∠MPF=120°．
∴∠NPG+∠MPF=60°．
∵∠NPG+∠MPF+∠MPN=∠FPG=120°
∴∠MPN=60°．
故答案为：60°；
（3）如图3，设AC中点G、AB中点F，连接MF、PF；NG，PG．
∴MF、PF、PG、GN分别是△ABD，△ABC，△ACE的中位线，
∴MF∥BD，MF=$\frac{1}{2}$BD，PF∥AC，PF=$\frac{1}{2}$AC，PG∥AB，PG=$\frac{1}{2}$AB，GN∥CE，GN=$\frac{1}{2}$CE．
∴四边形AFPG是平行四边形．∠AFM=∠ABD，∠AGN=∠ACE．
∴∠FPG=∠BAC．∠AFP=∠AGP，
∴∠BFP=∠PGC．
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴BD=AB，AC=EC，∠ABD=∠ACE=60°
∴∠AFM=∠AGN=60°，$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AB，$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$EC，
∴∠BFM=∠CGN=120°
∴∠BFP+∠BFM=∠CGP+∠CGN=，MF=PG，PF=NG．
∴∠MFP=∠PGN．
在△MFP和△PGN中
$\left\{\begin{array}{l}{MF=PG}\\{∠MFP=∠PGN}\\{PF=NG}\end{array}\right.$，
∴△MFP≌△PGN（SAS），
∴∠PMF=∠NPG．
∵∠PMF+∠PFM+∠MPF=180°，
∴∠PMF+∠PFB+∠AFM+∠MPF=180°，
∴∠PMF+∠PFB+∠MPF=60°，
∴∠PMF+∠BAC+∠MPF=60°
∴∠NPG+∠FPG+∠MPF=60°，
∴∠MPN=60°．
∴∠MPN的度数60°．

点评 本题考查了三角形中位线的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．