【题目】在平面直角坐标系中,设二次函数,其中.
(1)若函数的图象经过点,求函数的表达式;
(2)若一次函数的图象与函数的图象经过轴上同一点,探究实数满足的关系式;若随的变化能取得最大值,证明:当取得最大值时,抛物线与轴只有一个交点;
(3)已知点和在函数的图象上,若,求的取值范围.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)若,则
【解析】
(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据函数图象上的点满足函数解析式,可得答案;
(3)根据二次函数的性质,可得答案.
解:(1)把点代入中,
解得
①当时,;
②当时,
.综合①②得
(2) 与轴交点为,
与轴交点为,
①当时,此时,
②当时,此时,
若随的变化能取得最大值时,此时且当时,取得最大值,
此时
令,解得,所以此时函数与轴只有一个交点
(3) 的对称轴为
与对应函数值相等,
又开口向上,
∴若,则
【点晴】
本题是二次函数的综合问题,主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,解(1)的关键是利用待定系数法;解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式;解(3)的关键是利用二次函数的性质,要分类讨论,以防遗漏.
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【题目】设△ABC的面积为1.
如图1,分别将AC,BC边2等分,D1,E1是其分点,连接AE1,BD1交于点F1,得到四边形CD1F1E1,其面积S1=.
如图2,分别将AC,BC边3等分,D1,D2,E1,E2是其分点,连接AE2,BD2交于点F2,得到四边形CD2F2E2,其面积S2=;
如图3,分别将AC,BC边4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分点,连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3=;
…
按照这个规律进行下去,若分别将AC,BC边(n+1)等分,…,得到四边形CDnEnFn,其面积S= .
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【题目】如图,抛物线与x轴相交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C(0,3),点B在x轴的负半轴上,且.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若P是抛物线上且位于直线上方的一动点,求的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在线段上是否存在一点M,使的值最小?若存在,请求出这个最小值及对应的M点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N.连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
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【题目】新型冠状病毒肺炎侵袭全国,全国人民团齐心协力共抗疫情.小明同学一直关注疫情的变化,期待疫情结束早日复课,他主要关注近一个月新增确诊病例和现有确诊病例的情况,如图1、图2所示,反映的是2020年2月22日至3月23日的新增确诊病例和现有确诊病例的情况.
对2月22日至3月23日近一个月内数据,下面有四个推断
①全国新增境外输人确诊病例呈上升趋势;
②全国一天内新增确诊人数最多约650人;
③全国总新增确诊人数减少,全国现有确诊人数增加;
④全国一日新增确诊人数的中位数约为400.
其中合理推断的序号是( )
A.①②B.①④C.①②④D.①②③④
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【题目】垃圾分类问题受到全社会的广泛关注,我区某校学生会向全校2100名学生发起了“垃圾要回家,请你帮助它”的捐款活动,用于购买垃圾分类桶.为了解捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如图统计图1和图2,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图1中m的值是 ;
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(3)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为5元的学生人数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知直角三角形ABC的顶点A的坐标为(-2,1),顶点B的坐标为(-5,4),将△ABC向右平移5个单位,再向下平移3个单位后得到.
(1)请直接写出点C的坐标;
(2)请画出;
(3)若点P在x轴上,且与△ABC的面积相等,直接写出点P的坐标.
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【题目】如图1,为放置在水平桌面上的台灯,底座的高为.长度均为的连杆,与始终在同一水平面上.
(1)旋转连杆,,使成平角,,如图2,求连杆端点离桌面的高度.
(2)将(1)中的连杆绕点逆时针旋转,使,如图3,问此时连杆端点离桌面的高度是增加了还是减少?增加或减少了多少?(精确到,参考数据:,)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(4,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图1,点E是第一象限的抛物线上的一个动点.当△ACE面积最大时,请求出点E的坐标;
(3)如图2,在抛物线上是否存在一点P,使∠CAP=45°?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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