【题目】如图,已知、、、、是上五点,的直径,.为的中点,延长到点.使,连接.
(1)求线段的长;
(2)求证:直线是的切线.
(3)如图,连交于点,延长交PO交于另一点,连、,求的值.
【答案】(1)3;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)连接DE,如图,利用圆周角定理得∠DEB=60°,再根据圆周角定理得到∠BDE=90°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长;
(2)根据圆周角定理得到∠BAE=90°,而A为的中点,则∠ABE=45°,再根据等腰三角形的判定方法,利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形,所以∠PEB=90°,然后根据切线的判定定理得到结论;
(3)由切线的性质得出∠PEF=∠PCE,则△PEF∽△PCE,由相似三角形的性质可得,在Rt△PEO中,利用勾股定理求出PO的长,即可得出的值,再根据圆周角定理得到∠CEF=90°,即可得出的值.
(1)解:连接DE,如图,
∵∠BAD =60°,
∴∠DEB=∠BAD =60°,
∵BE为直径,
∴∠BDE=90°,
在Rt△BDE中,DE=BE=×2=,
BD=DE=×=3;
(2)证明: ∵BE为直径,
∴∠BAE=90°,
∴EA⊥BA,
∵A为的中点,
∴∠ABE=45°,
∵BA=AP,
而EA⊥BA,
∴△BEP为等腰直角三角形,
∴∠PEB=90°,
∴PE⊥BE,
∴直线PE是⊙O的切线;
(3)解:由(2)得△BEP为等腰直角三角形,
∴PE=BE=2,
∵BE为直径,
∴OE=OC=,
∵直线PE是⊙O的切线,CF为直径,
∴∠PEF+∠OEF =∠CEO+∠OEF=90°,
∴∠PEF=∠CEO,
∵OC=OE,
∴∠PCE=∠CEO,
∴∠PEF=∠PCE,
∵∠EPF=∠CPE,
∴△PEF∽△PCE,
∴,
在Rt△PEO中,=,
∴PC=PO+OC=+,
∵CF为直径,
∴∠CEF=90°,
∴==.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点B(12,10),过点B作x轴的垂线,垂足为A.作y轴的垂线,垂足为C.点D从O出发,沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动;点E从O出发,沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动;点F从B出发,沿BA方向以每秒2个单位长度运动.当点E运动到点A时,三点随之停止运动,运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△O′DE,设运动时间为t.
(1)用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标;
(2)若△ODE与以点A,E,F为顶点的三角形相似,求t的值;
(3)当t=2时,求O′点在坐标.
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【题目】已知关于x的方程x2-(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:不论m为何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)若方程一根为4,以此时方程两根为等腰三角形两边长,求此三角形的周长.
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【题目】如图,菱形ABCD的边AD⊥y轴,垂足为点E,顶点A在第二象限,顶点B在y轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为( )
A. B. 3 C. D. 5
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【题目】如图,抛物线过原点,且与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;
(2)已知为抛物线上一点,连接,,,求的值;
(3)在第一象限的抛物线上是否存在一点,过点作轴于点,使以,,三点为顶点的三角形与相似,若存在,求出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1是实验室中的一种摆动装置,在地面上,支架是底边为的等腰直角三角形,摆动臂长可绕点旋转,摆动臂可绕点旋转,,.
(1)在旋转过程中:
①当三点在同一直线上时,求的长;
②当三点在同一直角三角形的顶点时,求的长.
(2)若摆动臂顺时针旋转,点的位置由外的点转到其内的点处,连结,如图2,此时,,求的长.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相较于A(2,3),B(﹣3,n)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>的解集;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,求S△ABC.
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【题目】某中学开展演讲比赛活动,九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图所示.
(1)根据图填写下表;
平均分 (分) | 中位数 (分) | 众数(分) | 极差 | 方差 | |
九(1)班 | 85 | ______ | 85 | ______ | 70 |
九(2)班 | 85 | 80 | ______ | ______ | ______ |
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数、极差、方差,分析哪个班级的复赛成绩较好?
(3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛,你认为哪个班的实力更强一些,说明理由.
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