Question

2．如图，已知A，E，B在同一直线上，△ADE，△BCE都是等边三角形，连结AC，BD．
（1）求证：AC=BD；
（2）连结DC，取AB，BC，CD，AD的中点分别为P，Q，M，N．
①判断四边形PQMN的形状，并证明你的结论；
②若AE=4，BE=2，求四边形PQMN的周长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用SAS证明△ACE≌△DBE即可．
（2）①由三角形中位线定理证出MN∥PQ，MN=PQ，得出四边形PQMN是平行四边形，再证出MN=PN，即可得出结论；
②作DF⊥AB于F，由等边三角形的性质得出AF=EF=$\frac{1}{2}$AE=2，由勾股定理求出DF，得出BF，由勾股定理求出BD，得出PN的长，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE=DE，CE=BE，∠DAE=∠AED=∠CEB=60°，
∴∠AED+∠CED=∠CEB+∠CED，
即∠AEC=∠DEB，
在△ACE和△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}&{\;}\\{∠AEC=∠DEB}&{\;}\\{CE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DBE（SAS），
∴AC=BD．
（2）解：①四边形PQMN是菱形；理由如下：
∵AB，BC，CD，AD的中点分别为P，Q，M，N．
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，MN∥AC，PQ=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥AC，PN=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN∥PQ，MN=PQ，
∴四边形PQMN是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴MN=PN，
∴四边形PQMN是菱形；
②∵AD=AE=4，BE=2，
∴AB=AE+BE=6，
作DF⊥AB于F，如图2所示：
则AF=EF=$\frac{1}{2}$AE=2，
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，BF=AB-AF=4，
∴BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴PN=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{7}$，
∴菱形PQMN的周长=4PN=4$\sqrt{7}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及解直角三角形等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．