Question

17．如图，在四边形ABCD中，依次将其各边的中点E、F、G、H连接起来，得到的四边形EFGH是平行四边形，再依次将四边形EFGH各边的中点M、N、P、Q连接起来，得到的四边形MNPQ．
（1）四边形MNPQ的形状有何特征？并证明你的结论；
（2）在四边形ABCD中增加条件，其他不变，能使MNPQ是菱形吗？把你增加条件后的命题写出来（不证明）

Answer 1

分析 （1）连接EG，根据三角形的中位线的性质得到QP∥EG，QP=$\frac{1}{2}$EG，MN∥EG，MN=$\frac{1}{2}$EG，于是得到QP∥MN，QP=MN，即可得到四边形MNPQ是平行四边形；
（2）根据题意写出命题即可．

解答 解：（1）四边形MNPQ是平行四边形；
证明：连接EG，
∵点M、N、P、Q分别是四边形EFGH各边的中点，
∴QP∥EG，QP=$\frac{1}{2}$EG，MN∥EG，MN=$\frac{1}{2}$EG，
∴QP∥MN，QP=MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形；

（2）已知：在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，依次将其各边的中点E、F、G、H连接起来，得到的四边形EFGH是平行四边形，再依次将四边形EFGH各边的中点M、N、P、Q连接起来，得到的四边形MNPQ，
求证：四边形MNPQ是菱形．

点评 本题考查了中点四边形，平行四边形的判定，命题，三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是解题的关键．