Question

如图，已知AB是圆O的直径，DC是圆O的切线，点C是切点，AD⊥DC垂足为D，且与圆O相交于点E．
（1）求证：∠DAC=∠BAC，
（2）若圆O的直径为5cm，EC=3cm，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，推出OC⊥DC，求出AD∥OC，得出∠DAC=∠BAC=∠OCA，即可得出答案；
（2）根据∠DAC=∠BAC推出EC=BC=3，在△ACB中根据勾股定理求出AC即可．

解答：（1）证明：连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠BAC．

（2）解：∵∠DAC=∠BAC，
∴EC=BC=3，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=

52-32

=4，
答：AC的长是4．

点评：本题考查了勾股定理，平行线性质，切线的性质，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．