Question

用长度为32m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为一个矩形，上部为一个等边三角形．当下部的矩形面积最大时，求矩形的AB、BC的边长各为多少m？并求此时整个金属框的面积是多少？

Answer 1

分析：（1）设AB=x，矩形ABCD的面积为y，根据面积计算公式得：y=x×（16-2x）y=-2x²+16x，根据x的取值即可求得y的最大值；
（2）作EH⊥CD，垂足为H，则可求△CDE的面积，计算矩形ABCD与△CDE的面积之和即可解题．

解答：解：（1）设AB=x，矩形ABCD的面积为y，则：BC=16-2x
得：y=x×（16-2x）y=-2x²+16x
当x=-

b

2a

=4时，矩形ABCD的面积有最大值
∴AB=4m，BC=8m
（2）作EH⊥CD，垂足为H

∵△CDE是等边三角形
∴CH=DH=2
∴EH=

3

CH=2

3

∴S_△CDE=

1

2

×4×2

3

=4

3

又∵x=-

b

2a

=4时，y最大值=32
整个金属框的面积=4

3

+32

点评：本题考查了一元二次方程极值的求值，考查了三角形面积的计算，考查了矩形面积的计算，本题中求得AB的值使得矩形面积最大是解题的关键．