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已知三角形的三条边a,b,c适合等式:a3+b3+c3=3abc,请确定三角形的形状.
分析:根据a3+b3+c3-3abc+a3+b3+c3-3abc配方后的式子可得出a2+b2+C2-ab-ac-bc=0,然后再配方根据非负性即可判断出三角形的形状.
解答:解,依题意:a3+b3+c3=3abc,
而a3+b3+c3-3abc+a3+b3+c3-3abc
=(a+b)(a2-ab+b2)+c3-3abc
=(a+b)[(a+b)2-3ab]+c3-3abc
=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)•c+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
=0

∵a,b,c为三角形的三边长,
∴a+b+c>0,
a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0

∵(a-b)2≥0,(a-c)2≥0,(b-c)2≥0,
∴只有(a-b)2=0,(a-c)2=0,(b-c)2=0,
∴a=b=c,即三角形为等边三角形.
点评:本题考查立方公式的应用,难度较大,注意掌握立方公式的特点是解答本题的关键.
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