如图.已知抛物线y1=-x2+bx+c与直线AB:y=kx+l交于A,将抛物线y1沿y轴翻折得到抛物线y2且交x轴于点C．(1)求直线AB与抛物线y1的表达式,(2)求抛物线y2的表达式,(3)点P是直线BC上方的抛物线y2上的动点.过点P作PQ⊥x轴交直线BC于Q.以PQ为边作正方形PQMN,设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示PQ的长.并求出当m为何值时.正� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知抛物线y₁=-x²+bx+c（a≤O）与直线AB：y=kx+l交于A（-4，0）、B（0，4）；将抛物线y₁沿y轴翻折得到抛物线y₂且交x轴于点C．
（1）求直线AB与抛物线y₁的表达式；
（2）求抛物线y₂的表达式；
（3）点P是直线BC上方的抛物线y₂上的动点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于Q，以PQ为边作正方形PQMN；设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示PQ的长，并求出当m为何值时，正方形PQMN的周长最长；
（4）在满足第（3）问的前提下，当m=1时，若点E是抛物线y₁上的动点，点F是直线AB上的动点，是否存在点F，使得以PQ为边，点P、Q、E、F顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（-4，0）、B（0，4）分别代入抛物线y₁=-x²+bx+c（a≤O）与直线AB：y=kx+l，求出b，c，k，l的值即可；
（2）因为抛物线y₁=-x²+bx+c（a≤O）与抛物线y₂关于y轴对称，A（-4，0），所以可求出c的值，进而求出a的值，问题得解；
（3）设点p（m，-m²+3m+4），Q（m，-m+4），（0＜m＜4），所以PQ=（-m²+3m+4）-（-m+4）=-m²+4m，所以正方形PQMN的周长=4PQ=-4（m-2）²+16（0＜m＜4），利用二次函数的性质即可得到当m为何值时，正方形PQMN的周长最长；
（4）存在，当以PQ为边时，要使四边形EFQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ；以PQ为边时，要使四边形FEQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ，进而求出点F的坐标．

解答：解：（1）∵已知抛物线y₁=-x²+bx+c（a≤O）与直线AB：y=kx+l交于A（-4，0）、B（0，4），
∴

-16-4b+c=0

c=4

，

-4k+l=0

l=4

．
∴b=-3，k=1．
∴y₁=-x²-3x+4；AB：y=x+4；

（2）∵抛物线y₁=-x²+bx+c（a≤O）与抛物线y₂关于y轴对称，A（-4，0），
∴C（4，0），a=-1．
设y₂=-x²+nx+c（a≤O），由于y₂过点C（4，0），
∴-16+4n+4=0，
解得：n=3，
∴y₂=-x²+3x+4（a≤O）；

（3）∵直线BC：y=kx+b过点C（4，0），B（0，4），
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
设点p（m，-m²+3m+4），Q（m，-m+4），（0＜m＜4），
∴PQ=（-m²+3m+4）-（-m+4）=-m²+4m，
∴正方形PQMN的周长=4PQ=-4（m-2）²+16（0＜m＜4），
∴当m=2时，周长最长；

（4）存在，理由如下：
当m=1时，y_P=6，y_Q=3，
∴P（1，6），Q（1，3），PQ=y_P-y_Q=6-3=3，
以PQ为边时，要使四边形EFQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ．
设点E（n，-n²-3n+4），F（n，n+4）（n≤0），
∴EF=（-n²-3n+4）-（n+4），
∴-n²-4n=3，
∴n=-1或-3，
∴F₁（-1，3），F₂（-3，1），
以PQ为边时，要使四边形FEQP是平行四边形，需满足EF∥PQ，EF=PQ．
∴EF=（n+4）-（-n²-3n+4）=n²+4n，
∴n²+4n=3，
∴n=-2-

或-2+

（舍去）．
∴F₃（-2-

，2-

），
即：存在点F使得以点P、Q、E、F为顶点的平行四边形：
F₁（-1，3），F₂（-3，1），F₃（-2-

，2-

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．（2）中弄清线段ME长度的函数意义是解题的关键．

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．

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