Question

如图，在⊙O中，直径BC为10，点A是⊙O上的一个点，∠ABC的平分线交⊙O于点E，交AC于点F．过点E作⊙O的切线，交BC的延长线于虑D，连接CE．
（1）求证：∠ACE=∠DEC′；
（2）若AB=AE，求AF的长；
（3）如果点A由点B出发，在⊙O的圆周上运动，当点A在什么位置时，AE与BD互相平行？

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质可知∠ABE=∠EBC，

AE

=

CE

，由圆周角定理可得∠ABE=∠ACE，由弦切角定理可知∠DEC=∠EBC，故∠ACE=∠DEC；
（2）由（1）可知

AE

=

CE

，因为AB=AE，所以

AE

=

CE

=

AB

，故A、E三等分

AC

，故三段弧所对的圆周角等于30°，再根据直角三角形及相似三角形的性质即可解答；
（3）由（2）可知，当

AE

=

CE

=

AB

，即A、E三等分

AC

时，AE与BD互相平行．

解答：（1）证明：∵AE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠EBC，

AE

=

CE

；
又∵∠ABE=∠ACE，∠DEC=∠EBC，
∴∠ACE=∠DEC．

（2）解：∵

AE

=

CE

，AB=AE，
∴

AE

=

CE

=

AB

，故A、E三等分

AC

，
∴∠EBC=∠ACB=∠CAE=∠AEB=30°，AE∥BD；
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，故AB=

1

2

BC=

1

2

×10=5，故AB=AE=CE=5，
AC=BE=

BC2-AB2

=

102-52

=5

3

，
△AEF∽△CBF，设AF=x，则

AF

CF

=

AE

BC

，即

x

5 3 -x

=

1

2

，
解得x=

5 3

3

，即AF=

5 3

3

；

（3）解：由（2）可知，当

AE

=

CE

=

AB

，即A、E三等分

AC

时，AE与BD互相平行．

点评：此题比较复杂，涉及到圆周角的性质定理及直角三角形的性质，是中学阶段的重点内容．