Question

15．如图，E、F是?ABCD对角线AC上的两点，AF=CE．
（1）求证：BE=DF；
（2）若DF的延长线交BC于G，且点E、F是线段AC的三等分点，则$\frac{GF}{FD}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由AF=CE可得AE=CF，再结合平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF，从而得出BE=DF；
（2）先证明BE∥GF，由已知条件得出BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，由平行线得出△CGF∽△ADF，得出对应边成比例，即可得出结果

解答 （1）证明：∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF．
∴AE=CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．AD∥BC，AD=BC，
∴∠BAE=∠DCF．
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴BE=DF；
（2）解：如图所示：由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠DFC，
∴∠BEC=∠GFC，
∴BE∥GF，
∵点E、F是线段AC的三等分点，
∴AE=EF=FC，
∴BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD∥BC，
∴△CGF∽△ADF，
∴$\frac{GF}{FD}=\frac{CG}{AD}$=$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由平行线证明三角形相似是解决问题的关键．