Question

3．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升$\frac{5}{6}$cm，
（1）开始注水1分钟，丙的水位上升$\frac{10}{3}$cm．
（2）求出开始注入多少分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm？

Answer 1

分析 （1）由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升$\frac{5}{6}$cm，得到注水1分钟，丙的水位上升$\frac{10}{3}$cm；
（2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：①甲的水位不变时，②乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可；设开始注入a分钟的水量后，甲的水位比乙高0.5cm．

解答 解：（1）∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，
∵注水1分钟，乙的水位上升$\frac{5}{6}$cm，
∴得到注水1分钟，丙的水位上升$\frac{5}{6}$cm×4=$\frac{10}{3}$cm；

（2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：
①甲的水位不变时；
由题意得，$\frac{5}{6}$t-1=0.5，
解得：t=$\frac{9}{5}$，
∵$\frac{10}{3}$×$\frac{9}{5}$=6＞5，
∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷$\frac{10}{3}$=$\frac{3}{2}$分钟，$\frac{5}{6}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{4}$，即经过$\frac{3}{2}$分钟时丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{5}{4}$+2×$\frac{5}{6}$（t-$\frac{3}{2}$）-1=0.5，解得：t=$\frac{33}{20}$；
②当乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为；$\frac{3}{2}$+（5-$\frac{5}{4}$）÷$\frac{5}{6}$÷2=$\frac{15}{4}$分钟，
∴5-1-2×$\frac{10}{3}$（t-$\frac{5}{4}$）=0.5，
解得：t=$\frac{171}{40}$，
综上所述开始注入$\frac{33}{20}$或$\frac{171}{40}$分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．
③设开始注入a分钟的水量后，甲的水位比乙高0.5cm，由题意得
1-0.5=$\frac{5}{6}$a，
a=$\frac{3}{5}$
答：开始注入$\frac{3}{5}$，$\frac{33}{20}$，40分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．