Question

16．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，点B在y轴上，且AO=2，∠ABO=30°．
（I）写出A，B两点的坐标；
（2）以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出点A′，B′的坐标．

Answer 1

分析 （1）由AO=2、∠ABO=30°可得A（2，0），由BO=$\frac{AO}{tan∠ABO}$可得B（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）由旋转的性质得出OA=OA′=2、∠AOA′=60°、∠AOB=∠A′OB′=90°、OB=OB′=2$\sqrt{3}$，作A′C⊥x轴、B′D⊥x轴，解直角三角形即可得．

解答 解：（1）∵在Rt△ABO中，AO=2，∠ABO=30°，
∴BO=$\frac{AO}{tan∠ABO}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
则点A（2，0）、B（0，2$\sqrt{3}$）；

（2）由旋转可知OA=OA′=2，

过点A′作A′C⊥x轴于点C，B′D⊥x轴于点D，
在Rt△A′OC中，A′C=OA′sin∠A′OC=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，CO=A′Ocos∠A′OC=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴点A′（-1，$\sqrt{3}$），
∵∠AOA′=60°，∠AOB=∠A′OB′=90°，OB=OB′=2$\sqrt{3}$，
∴∠B′OD=30°，
在Rt△B′OD中，OD=OB′cos∠B′OD=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，B′D=OB′sin∠B′OD=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴点B′（3，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握旋转的性质及解直角三角形的应用是解题的关键．