Question

10．已知△ABC的三边分别是x，y，z，①以$\sqrt{x}$，$\sqrt{y}$，$\sqrt{z}$为三边的三角形一定存在；②以x²，y²，z²为三边的三角形一定存在；③以$\frac{1}{2}$（x+y），$\frac{1}{2}$（y+z），$\frac{1}{2}$（x+z）为三边的三角形一定存在；④以|x-y|+1，|y-z|+1，|z-x|+1为三边的三角形一定存在；上述四个结论中，正确的是①③④．

Answer 1

分析 对于任意一个三角形的三边x、y、z，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

解答 解：不妨设x≤y≤z，则必有x+y＞z，
①$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$＞$\sqrt{x+y}$＞$\sqrt{z}$，此结论正确；
②设x=3，y=4，z=5，则x²，y²，z²构不成三角形，此结论不正确；
③$\frac{1}{2}$（x+y）≤$\frac{1}{2}$（x+z）≤$\frac{1}{2}$（y+z），此结论正确；
④（y-x）+（z-y）≡z-x，则（y-x+1）+（z-y+1）＞z-x+1，此结论正确．
所以①③④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了三角形的三边关系，以及用特殊值代入法比较一些数的大小．