Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，⊙O与AC的公共点为E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，BD=BF．

（1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）若AB=12，BC=6，求⊙O的面积．

Answer 1

【答案】(1)AC与⊙O相切；(2)16.

【解析】

(1)求出OE∥BF推出∠AEO=90，根据切线的判定推出即可；

(2)证△AOE∽△ABC，得出关于r的方程，求出方程的解即可.

解：（1）AC与⊙O相切．

连接OE，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED．

∵BD=BF，

∴∠ODE=∠F．

∴∠OED=∠F．

∴OE∥BF．

∴∠AEO=∠ACB=90°．

∴OE⊥AC．

∵点E为⊙O上一点，

∴AC与⊙O相切；

（2）由（1）知∠AEO=∠ACB，

又∵∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC，

∴=，

设⊙O的半径为r，则=，解得r=4，

∴⊙O的面积为π×42=16π.

故答案为：(1)AC与⊙O相切；(2)16.