Question

【题目】 如图1，P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．

（1）求证：PD=PE；

（2）求证：∠DPE=∠ABC；

（3）如图2，当四边形ABCD为正方形时，连接DE，试探究线段DE与线段BP的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=BP，理由详见解析

【解析】

（1）根据菱形的性质得出BC=DC，∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明△BCP≌△DCP得出PB=PD，由已知PE=PB，即可得出结论；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证；

（3）证出△PDE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出DE=PE，即可得出结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=DC，∠BCP=∠DCP，AB∥DC，

∵在△BCP和△DCP中，

，

∴△BCP≌△DCP（SAS），

∴PB=PD，

∵PE=PB，

∴PD=PE；

（2）证明：如图1所示：

由（1）知，△BCP≌△DCP，

∴∠CBP=∠CDP，

∵PE=PB，

∴∠CBP=∠E，

∵∠CFE=∠DFP（对顶角相等），

∴180°-∠DFP-∠CDP=180°-∠CFE-∠E，

即∠DPE=∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC，

∴∠DPE=∠ABC；

（3）解：DE=BP，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

由（1）知：PD=BP=PE，

由（2）知，∠DPE=∠ABC=90°，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴DE=PE，

∴DE=BP．