Question

7．矩形ABCD中，AB=10，BC=4，Q为AB边的中点，P为CD边上的动点，且△AQP是腰长为5的等腰三角形，则CP的长为2、7或8．

Answer 1

分析 首先计算出QB的长，再分三种情况：①如图1，PQ=AQ=5时；②如图2，AP=AQ=5时；③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时分别计算出CP的长即可．

解答 解：∵AB=10，点Q是BA的中点，
∴AQ=$\frac{1}{2}$BA=$\frac{1}{2}$×10=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=10，∠B=∠C=∠D=90°，
①如图1，PQ=AQ=5时，过点P作PE⊥BA于E，
根据勾股定理，QE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴BE=BQ+QE=5+3=8，
∴CP=BE=8；
②如图2，AP=AQ=5时，
根据勾股定理，DP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴CP=10-3=7；
③如图3，PQ=AQ=5且△PBQ为钝角三角形时，过点P作PE⊥BA于E，
根据勾股定理：QE=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵BE=QB-EQ=5-3=2，
∴CP=BE=2，
综上所述，CP的长为2或7或8．
故答案为：2、7或8．

点评 此题主要考查了矩形的性质，以及勾股定理的应用和等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．