Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+mx+4经过点A，且与x轴的另一个交点为点B．连接BC，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠BCO的点E的坐标；

（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点P为第一象限内的抛物线上一点，若以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）E的坐标为E或；（3）4﹣2或．

【解析】

（1）利用直线方程求得点A、C的坐标，根据点A、C坐标求得抛物线解析式；

（2）分点E在CD上方、点E在CD下方两种情况，分别求解即可；

（3）分CM为菱形的一条边、CM为菱形的对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4，

则点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），

将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得：m＝3，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4①，

令y＝0，则x＝﹣1或4，故点B（﹣1，0）；

（2）①当点E在CD上方时，

tan∠BCO＝，

则直线CE的表达式为：y＝x+4②，

联立①②并解得：x＝0或（舍去0），

则点E（，）；

②当点E在CD下方时，

同理可得：点E′（，）；

故点E的坐标为E（，）或（，）；

（3）①如图2，当CM为菱形的一条边时，

过点P作PQ∥x轴，∵OA＝OC＝4，

∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，

设点P（x，﹣x2+3x+4），

则PM＝PQ＝x，

C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，则PM＝PN，

即：x＝﹣x2+3x+4，解得：x＝0或4﹣（舍去0），

故菱形边长为x＝4﹣2；

②如图3，当CM为菱形的对角线时，

同理可得：菱形边长为2；

故：菱形边长为4﹣2或．